3. Функции и отображения

Одним из основных объектов, без которого нельзя представить ни математику, ни ее приложения, является так называемая функция или отображение. Понятие функции, равно как и понятие множества, в нашем курсе окажется первичным, неопределяемым. В то же время в отличие от множества, при «введении» понятия функции мы не будем пренебрегать синонимами, понятными человеческому мышлению.

Понятия функции и отображения

Как мы уже сказали, одним из ключевых понятий математики и ее приложений является понятие функции (отображения). Давайте прыгнем сразу с места в карьер.

Введем чуть ли не основное «определение».

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие отображения)

Пусть заданы два множества $X$ и $Y$. Говорят, что $f$ — отображение из $X$ в $Y$, если установлено правило, по которому каждому элементу $x \in X$ сопоставляется ровно один элемент $y \in Y$. При этом пишут:

$$ f : X \rightarrow Y, \text{ или } \ X \xrightarrow {f} Y. $$

</aside>

Это описание нельзя считать строгим определением понятия отображения, так как оно все еще включает в себя неопределенные понятия «правило» и «сопоставляется». И хотя можно дать строгое определение понятию отображения на основе понятия множества, мы этого делать не будем, отправив заинтересованного читателя к дополнительной литературе.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Мы часто в дальнейшем будем использовать следующую запись: «Пусть $f : X \rightarrow Y$». Один раз и навсегда повторим ее подробную расшифровку на человеческом языке: «Пусть отображение $f$ действует из множества $X$ в множество $Y$».

</aside>

Введем еще одно часто встречающееся определение.

Пусть $f : X \rightarrow Y$. Тот элемент $y \in Y$, который сопоставляется элементу $x \in X$ по правилу $f$, обозначается через $f(x)$. При этом $x$ называется аргументом отображения $f$ или независимой переменной, а $y$ — значением отображения, или зависимой переменной.

</aside>

Отметим важный частный случай введенного определения.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Пусть $f : X \rightarrow Y$. Если множества $X$ и $Y$ числовые, то отображение $f$ часто называют функцией.

Предыдущее замечание, конечно же, справедливо и для функции, как для частного вида отображения. Запись «Пусть $f : X \rightarrow Y$» в случае функции может читаться так: «Пусть функция $f$ действует из множества $X$ в множество $Y$».

</aside>

Теперь аккуратно введем те понятия, которые, скорее всего, прекрасно знакомы из школы. Начнем с области определения.

Пусть $f : X \rightarrow Y$. Множество $X$ называют областью определения отображения $f$ и обозначают $D(f)$.

</aside>

Итак, область определения — это множество тех $x$, для которых задано значение $f(x)$.

Настало время поговорить о множестве значений.

Множество $E(f)$, определяемое как

$$ E(f) := \{y \in Y: \exists x \in X \ \ f(x) = y \}, $$

называется областью значений отображения $f$.

</aside>

Теперь отметим важнейшее замечание.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Область значений отображения $f: X \to Y$ вовсе не обязана совпадать с множеством $Y$, однако всегда является его подмножеством.

Пусть

$$ X = \{0, 1\}, \ Y = \{0, 1, 2, 3\}, \ f: X \to Y $$

и $f(x) = x$ — тождественное отображение. Тогда

$$ D(f) = E(f) = \{0, 1 \}, $$

но $E(f) \neq Y$.

</aside>