В этом разделе мы изучим еще один признак сходимости рядов со знакопостоянными членами — интегральный признак сходимости.
Приведем сразу формулировку соответствующей теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (интегральный признак Коши)
Пусть $f$ монотонна на $[1, + \infty)$. Тогда ряд с общим членом $f(k)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
$$ \int\limits_1^\infty f \ dx. $$
Покажем применение признака. Например, исследуем на сходимость (снова) ряд Дирихле.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (ряд Дирихле)
Исследовать на сходимость ряд (Дирихле)
$$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^\alpha}. $$
Используя только что доказанный признак, можно сделать вывод, что сходимость написанного ряда равносильна сходимости интеграла
$$ \int\limits_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha}. $$
Теперь без труда получается уже известный нам вывод: ряд Дирихле сходится при $\alpha >1$ и расходится при $\alpha \leq 1$.
</aside>
Теперь покажем, как можно исследовать на сходимость ряд, возникавший при обсуждении признака Бертрана.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (ряд Дирихле)
Исследовать на сходимость ряд
$$ \sum\limits_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \ln^\alpha k}. $$
Используя только что доказанный признак, можно сделать вывод, что сходимость написанного ряда равносильна сходимости интеграла
$$ \int\limits_2^\infty \frac{dx}{x \ln^\alpha x}. $$
Так как
$$ \int\limits_2^\infty \frac{dx}{x \ln^\alpha x} = \lim\limits_{\omega \to + \infty} \begin{cases} \ln \ln \omega - \ln \ln 2, & \alpha =1 \\ \frac{1}{1 - \alpha} \left(\ln^{1 - \alpha} \omega - \ln^{1 - \alpha}2 \right), & \alpha \neq 1 \end{cases}, $$
то легко сделать вывод, что рассматриваемый ряд сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leq 1$.
</aside>
Теперь обратимся к качественно другим результатам, которые дает интегральный признак Коши.
Одна из основных задач анализа — это задача исследования асимптотического поведения той или иной величины. Идея, использованная при доказательстве интегрального признака Коши, часто помогает в исследовании асимптотики различных сумм, в частности, в оценке скорости их роста (изменения).
Докажем следующую (основную) лемму.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ]
Пусть $f$ неотрицательна и не возрастает на $[1, +\infty)$. Тогда последовательность
$$ A_n = \sum\limits_{k = 1}^n f(k) - \int\limits_{1}^{n+1} f \ dx $$
имеет предел.
По сути, лемма говорит о последовательности площадей, полученных в результате «разностей» площади объемлющего на отрезке $[n, n+1]$ прямоугольника и площади под графиком функции $f$ на этом отрезке.
Отметим следующее важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Применительно к поиску асимптотик, доказанная лемма может быть использована следующим образом. Пусть $\lim\limits_{n \to \infty} A_n = A$, тогда
$$ \sum\limits_{k = 1}^n f(k) - \int\limits_{1}^{n+1} f \ dx = A + \alpha_n \ \Leftrightarrow \ \sum\limits_{k = 1}^n f(k) = \int\limits_{1}^{n+1} f \ dx + A + \alpha_n, $$
где $\alpha_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$.
Особо интересны случаи, когда ряд, стоящий слева, расходится. Тогда (при $n \to \infty$)
$$ \sum\limits_{k = 1}^n f(k) \ \sim \ \int\limits_{1}^{n+1} f \ dx. $$
</aside>
Покажем, как можно оценить скорость роста суммы интересующего ряда.
