Оказывается, над сходящимися рядами далеко не всегда можно проводить привычные нам операции. Рассмотрим следующий пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (о, вообще говоря, несохранении суммы ряда при перестановке его членов)
Рассмотрим ряд
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \ldots $$
Сумма этого ряда нам уже известна, она равна $\ln 2$. Переставим члены ряда местами и рассмотрим следующий ряд
$$ 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{4n - 2} - \frac{1}{4n} + .... $$
Рассмотрим частичную сумму нового ряда с номером $3n$:
$$ \widetilde S_{3n} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{4n - 2} - \frac{1}{4n} = $$
$$ = \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{4k - 2} - \frac{1}{4k} \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k} \right) = \frac{1}{2} S_{2n}, $$
где
$$ S_n = \sum\limits_{k = 1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}. $$
В силу того, что
$$ \lim\limits_{n \to \infty} S_n = \ln 2, $$
получаем, что
$$ \widetilde S_{3n} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{\ln 2}{2}. $$
Легко понять, что $\widetilde S_{3n + 1}$ и $\widetilde S_{3n + 2}$ имеют такой же предел, а значит можно утверждать, что сумма рассматриваемой перестановки равна $0.5 \ln 2$. Итого, при перестановке членов сумма ряда изменилась.
</aside>
Итак, наша цель — ответить на вопросы: какие свойства суммирования (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и проч.) и в каких случаях переносятся на ряды. Начнем с ассоциативности.
Сначала введем понятие «группировки» ряда.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие группировки ряда)
Пусть дан ряд с общим членом $a_k$ и пусть $n_1 < n_2 < ... < n_k < ...$ — возрастающая последовательность номеров. Положим $n_0 := 0$ и
$$ A_j := \sum\limits_{k = n_j + 1}^{n_{j + 1}} a_k, \quad j \in \mathbb N \cup \{0\}. $$
Тогда ряд
$$ \sum\limits_{j = 0}^\infty A_j $$
называется группировкой исходного ряда.
</aside>
Отметим, что группировка ряда сохраняет исходный порядок членов ряда, но меняет общий член ряда. Иными словами, мы расставляем скобки и, тем самым, меняем слагаемое, прибавляемое на каждой итерации суммирования.
Отметим важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Рассмотрим (расходящийся) ряд с общим членом $a_k = (-1)^k$. Заметим, что группировка может сходиться, если огранизовать группы, например, так:
$$ (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... + (-1 + 1) + ... = 0. $$
</aside>
Ответим на вопрос, как связаны сходимость ряда и сходимость его группировок.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (об ассоциативности)
Пусть ряд с общим членом $a_k$ имеет сумму $S \in \overline{\mathbb{R}}$. Тогда и любая его группировка имеет сумму $S$.
Пусть группировка ряда с общим членом $a_k$ имеет сумму $S \in \overline{\mathbb{R}}$, причем $a_k \xrightarrow[k \to \infty]{} 0$ и каждая группа содержит не более $L \in \mathbb{N}$ членов. Тогда
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = S. $$
Пусть группировка ряда с общим членом $a_k$ имеет сумму $S \in \overline{\mathbb{R}}$, а все члены внутри каждой группы имеют один и тот же знак. Тогда
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = S. $$
Доказательство:
Итак, первый пункт теоремы говорит о том, что для сходящегося ряда любая его группировка сходится, причем к той же самой сумме. Второй и третий пункты устанавливают достаточные условия для справедливости обратного утверждения — утверждения, когда из сходимости группировки к некоторой сумме можно вывести сходимость к этой же сумме исходного ряда.
Отметим следующее замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
В пункте 3 теоремы слова о знаке означают следующее: внутри каждой группы все члены группы имеют один и тот же знак, причем если среди них встречается нулевой член — это не проблема, мы считаем, что он «не меняет» знака группы.
</aside>
Покажем пример использования доказанной теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Исследовать на сходимость ряд
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{[\sqrt{k}]}}{k}. $$
Рассмотрим следующую группировку исходного ряда:
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty\sum\limits_{i = k^2}^{(k + 1)^2 - 1} \frac{(-1)^{[\sqrt{i}]}}{i} = \sum\limits_{k = 1}^\infty \sum\limits_{i = k^2}^{(k + 1)^2 - 1} \frac{(-1)^k}{i} = \sum\limits_{k = 1}^\infty (-1)^k \sum\limits_{i = k^2}^{(k + 1)^2 - 1} \frac{1}{i}. $$
Отдельно разберемся со внутренним слагаемым. Понятно, что
$$ \int\limits_{k^2}^{(k + 1)^2} \frac{dx}{x} \leq \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^2 + 1} + ... + \frac{1}{(k + 1)^2 - 1} \leq \int\limits_{k^2- 1}^{(k + 1)^2 - 1} \frac{dx}{x}. $$
Распишем полученные интегралы и установим некоторые асимптотические равенства при $k \to \infty$:
$$ \int\limits_{k^2}^{(k + 1)^2} \frac{dx}{x} = 2\ln \frac{k + 1}{k} = 2\left(\frac{1}{k} + O\left(\frac{1}{k^2}\right) \right), $$
$$ \int\limits_{k^2 - 1}^{(k + 1)^2 - 1}\frac{dx}{x} = \ln \frac{(k + 1)^2 - 1}{k^2 - 1} = \ln\left( 1 + \frac{2k}{k^2 - 1}\right) = \frac{2k}{k^2 - 1} + O\left(\frac{1}{k^2}\right). $$
Так как при $k \to \infty$ справедливо равенство
$$ \frac{2k}{k^2 - 1} = \frac{2}{k} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{k^2}} = \frac{2}{k}\left(1 + O\left( \frac{1}{k^2}\right) \right), $$
то можно заключить, что
$$ \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^2 + 1} + ... + \frac{1}{(k + 1)^2 - 1} = \frac{2}{k} + O\left(\frac{1}{k^2} \right). $$
Тем самым,
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty\sum\limits_{i = k^2}^{(k + 1)^2 - 1} \frac{(-1)^{[\sqrt{i}]}}{i} = \sum\limits_{k = 1}^\infty (-1)^k \sum\limits_{i = k^2}^{(k + 1)^2 - 1} \frac{1}{i} = \sum\limits_{k = 1}^\infty (-1)^k \left(\frac{2}{k} + O \left( \frac{1}{k^2} \right) \right). $$
Значит, рассматриваемая группировка ряда сходится, например, по признаку Лейбница, причем условно (ряд с общим членом $O(k^{-2})$ сходится абсолютно). Тем самым, исходный ряд сходится. Кстати, тоже условно.
</aside>
