В этом разделе мы получим важную для дальнейшего фундаментальную теорему — теорему Кантора о вложенных отрезках.
Перед тем как сформулировать теорему, введем понятие системы вложенных отрезков.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие системы вложенных отрезков)
Пусть $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$, $a_{n} \leq b_{n}$, $n \in \mathbb N$. Говорят, что система $I_{n}$ — система вложенных отрезков, если
$$ I_{1} \supset I_{2} \supset \ldots\supset I_{n} \supset \ldots. $$
</aside>
Отметим, что в определении слово «вложенные» понимается в классическом смысле: в смысле теории множеств — следующий отрезок является подмножеством предыдущего.
Теорема Кантора, формулируемая и доказываемая ниже, говорит о непустоте пересечения системы вложенных отрезков. С одной стороны, это кажется очевидным, однако с другой оказывается, что это — прямое следствие опять-таки аксиомы непрерывности.
Сформулируем и докажем основную теорему — теорему Кантора.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (теорема Кантора)
Пусть $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$, $a_{n} \leq b_{n}$, $n \in \mathbb N$, — система вложенных отрезков.
$$ \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} I_{n} \neq \varnothing. $$
$$ \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} I_{n} = \{a\}. $$
Доказательство:
Отметим, что сама по себе теорема Кантора не эквивалентна аксиоме непрерывности. Однако, если кроме теоремы Кантора в систему аксиом добавить принцип Архимеда, то полученная связка будет полностью эквивалентна аксиоме непрерывности. Эту связку часто используют при построении аксиоматики множества $\mathbb R$.
Отметим и следующее важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Условие, что в теореме Кантора рассматриваются вложенные отрезки, важно. Например, для вложенных интервалов утверждение теоремы оказывается неверным (впрочем, похожее мы уже обсуждали здесь):
$$ U_n = \left(0, \ \frac{1}{n} \right) \ \Rightarrow \ \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} U_n = \varnothing. $$
Докажем последнее от противного. Пусть рассматриваемое пересечение не пусто, тогда
$$ \left(x \in \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} U_n \right) \ \Rightarrow \ (x \in U_n, \ \ \forall n \in \mathbb N). $$
Согласно лемме,
$$ \exists n \in \mathbb{N}: \ \ \frac{1}{n} < x, $$
а значит $x \notin U_n$. Противоречие.
</aside>
