В этом разделе мы обсудим так называемую лемму Бореля—Лебега. На самом деле она устанавливает чрезвычайно важное топологическое свойство отрезка — его компактность. Пока, однако, мы не будем всецело использовать, и даже называть это свойство, а просто приведем соответствующее утверждение.
Сначала введем понятие покрытия.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие покрытия)
Говорят, что система интервалов $U_{\alpha}$, $\alpha \in A$, покрывает отрезок $[a,b]$, если
$$ \forall x \in [a, b] \ \exists \alpha_0: \ \ x \in U_{\alpha_0}. $$
</aside>
Иными словами, система интервалов $U_{\alpha}$, $\alpha \in A$, покрывает отрезок $[a,b]$ в том и только том случае, когда каждая точка отрезка попадает хотя бы в один из интервалов покрытия или, что то же самое, объединение этих интервалов содержит отрезок, то есть
$$ [a, b] \subset \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha. $$
Введем следующее, на наш взгляд логичное дополнение к только что введенному определению.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Понятно, что предыдущее определение может быть обобщено в принципе на любую систему множеств.
Говорят, что система множеств $E_{\alpha}$, $\alpha \in A$, покрывает множество $X$, если
$$ \forall x \in X \ \exists \alpha_0: \ \ x \in E_{\alpha_0}. $$
Смысл определения остается, конечно же, таким же.
</aside>
Приведем пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Система $U_\alpha$, $\alpha \in \mathbb N \cup \{-1, +\infty\}$, определяемая как
$$ U_n = \left(\frac{1}{n}, \ 3 - \frac{1}{n} \right), \quad n \in \mathbb N, \\ U_{-1} = (-1, \ 0.5), \quad U_{+\infty} = (2.5, \ 5), $$
образует некоторое покрытие отрезка $[0, 3]$.
Видно, что без множеств $U_{-1}$ и $U_{+\infty}$ система множеств $U_\alpha$, $\alpha \in \mathbb N$, покрытия бы не образовывала, так как $0$ и $3$ ни в одно из множеств рассматриваемой системы не попадают.
</aside>
Теперь сформулируем и докажем лемму Бореля—Лебега.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (Бореля—Лебега)
Из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное покрытие.
Оказывается, лемма Бореля—Лебега эквивалентна аксиоме непрерывности или связке (теорема Кантора) + (принцип Архимеда). Значит, устанавливая рассматриваемый факт, мы снова воспользовались тем «таинственным», но чрезвычайно важным свойством, вводимым в аксиоматике — свойством, приводящим нас к иррациональным числам.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Как и в замечании к теореме Кантора отметим, что рассмотрение покрытия именно отрезка — важно. Например, в предыдущем примере система
$$ U_n = \left(\frac{1}{n}, \ 3 - \frac{1}{n} \right), \quad n \in \mathbb N, $$
образует покрытие интервала $(0, 3)$, из которого, однако, нельзя выделить конечное покрытие этого интервала.
Отметим также, что нельзя отказаться и от покрытия именно интервалами. Например, система отрезков
$$ I_n = \left[\frac{1}{n}, \ 3 - \frac{1}{n} \right], \quad n \in \mathbb N, \\ I_{-1} = [-1, 0], \quad I_{+\infty} = [3, 4], $$
образует покрытие отрезка $[0, 3]$ из которого, опять-таки, конечного покрытия не выделить. Та же система отрезков покрывает и интервал $(0, 3)$, в общем-то, с такой же печальной судьбой.
Можно придумывать и различные другие комбинации тех или иных множеств. Оставляем это заинтересованным читателям.
</aside>
